Le pronom ici s’accorde avec “caractère” donc vous devez utiliser lequel.
Mais votre phrase reste incorrecte, je pense que dire:
“Ils n’ont aucun caractère comparable.” est suffisant pour comprendre le sens de la phrase.

Tout dépend du sens visé. Si il s’agit de dire qu’il n’existe pas un caractère comparable qui puisse servir de base alors la deuxième formule correspond à ce cas :

Ils n’ont aucun caractère comparable sur lequel baser leur comparaison.

Mais plus probablement, l’intention est de dire qu’il n’y a pas de caractères comparables qui puissent servir de base, auquel cas, le pluriel correspondrait mieux au sens :

Ils n’ont aucuns caractères comparables sur lesquels baser leur comparaison.

Pour mettre le nombre en évidence, on peut comparer les formulations suivantes :

Jean n’a aucun caractère comparable qui pourra lui servir de base.

Jean n’a aucuns caractères comparables qui pourront lui servir de base