Adulte, accompli, rassis me semblent pouvoir être apposés dans ce sens.
Mûr serait très bien ; mais il me semble que le mot rassis serait plus juste car il insiste sur cette idée de sagesse liée à l’âge.
Exemple tiré du TLF :

Les grands travaux improvisés de M. Villemain avaient fait leur temps (…). On était devenu plus rassis et plus positif. On voulait des faits (SAINTE-BEUVE, Nouv. lundis, t. 13, 1868, p. 234).

Sinon, des expressions plus spécifiques doivent pouvoir être trouvées selon le contexte (maître de son art, en pleine possession de ses moyens, prêt à, dans la force de…)

Mature is an adjective, and a gross anglicisme. Mur would be the correct term there.

This is not at all the same maturité, a perfectly correct noun in French.