Oui, le subjonctif certainement a un sens clair, même en anglais (ce que trop de personnes ne réalisent pas !) Comparez ces deux phrases :

C’est important que vous soyez gentil. (It’s important that you be kind.)
C’est important que vous êtes gentil. (It’s important that you are kind.)

Elles ont un sens différent. La première veut dire que quelqu’un (« vous ») doit être gentil, et ne dit pas si ou non la personne est gentille en ce moment. La deuxième veut dire que quelqu’un (« vous ») est gentil, et ce fait est important.

Wikipédia répond très bien à ton problème :

Le subjonctif est un mode grammatical exprimant un fait comme pensé ou imaginé (opinions, faits irréels, incertains ou simplement envisagés), par contraste avec l’indicatif qui est censé rapporter les faits réels.

Il semble que je ne puisse pas le faire. (opinion, incertitude)

Je ne peux pas le faire. (constatation)

On voit bien ici que l’indicatif change le sens de la phrase car l’action.
De plus des constructions comme « Il semble que je ne peux pas le faire » sont grammaticalement fausse.

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Je ne sais pas si j’ai bien compris ce principe de « paire minimale, » mais que penses-tu de :

Que je suis grand !

Que je sois grand !

Le premier exprime toujours une constatation « Oh grand-mère que vous avez de grandes dents » et le second un souhait, une situation qui n’existe pas « Oh grand mère, que vous ayez de grandes dents. »

Je crois cependant que la sémantique du « que » n’est pas la même (et à mon avis ne le sera jamais).

Que penses-tu de

Dieu soit loué ! ((May) god be praised!)

versus

Dieu est loué ! (God is praised!)

où la première forme est très courante, signifiant que le locuteur souhaite que son dieu soit loué, alors que la deuxième forme, rarement entendue mais quand même naturelle, déclare que le dieu est déjà effectivement loué.

Dans un cas, une requête, dans un autre, l’exposition d’un fait. Plutôt différent, non ?

En général, le subjonctif apparaît dans une proposition relative, et c’est la conjonction de subordination ou le verbe de la proposition principale qui détermine le mode (subjonctif ou indicatif) du verbe de la relative. Mais il existe quand même des cas où la grammaire autorise les deux modes.

Avec certains verbes, l’indicatif indique une catégorie dont on sait et on affirme qu’elle n’est pas vide, alors que le subjonctif porte un doute sur l’existence d’un élément dans la catégorie. (Exemple inspiré de celui cité sur Wikipédia.)

Je cherche le titre d’un livre dont le narrateur est un chien. (Je sais que ce livre existe puisque je l’ai lu, mais j’ai oublié le titre et je veux le retrouver.)
Je cherche le titre d’un livre dont le narrateur soit un chien. (Je ne sais pas s’il en existe, mais si oui j’aimerais avoir son titre pour pouvoir le lire.)

Quoique peut avoir le sens de bien que (concession, dans laquelle la phrase principale domine), et est suivi du subjonctif. Il peut aussi avoir le sens d’encore que (concession, dans laquelle la subordonnée domine). (Voir sur ce site “quoique” vs. “bien que”.) (Exemples cités par le Trésor de la langue française.)

Quoique rien ne l’obligeât plus à terminer son article − peut-être même à cause de cela − il se remit avec entrain au travail. (Roger Martin du Gard, Les Thibault, 1936)
Tu pourrais balader des grenades ou n’importe quelle pétoire quoique j’ai dans l’idée que tu n’es pas doué pour le tir au pigeon. (Jean-Paul Sartre, Mains sales, 1948)

Au passage, il y a des constructions qui permettent indifféremment le subjonctif ou l’indicatif, sans nuance de sens (mais avec éventuellement une nuance de niveau de langue). Par exemple tout ivre qu’il soit ou tout ivre qu’il est (TLF tout² B) (synonymes de bien qu’il soit ivre, avec la nuance que la concession s’applique même si le degré d’ivresse est élevé).