Voici les premières différences qui me viennent à l’esprit, même si elles ne sont pas discriminantes à 100%.

1. Quand on parle de purée sans en indiquer la composition, il s’agit par défaut de purée de pommes de terre. Sinon, une purée est souvent à base d’un seul ingrédient (purée de pois, de tomates, de carottes, de marrons, etc.) alors que les soupes ont très souvent des ingrédients variés.

2. Les soupes/potages/consommés sont assez ou très liquides, si on penche une assiette en contenant, elle va sûrement se vider sur la table alors que si on fait la même expérience avec de la purée, il y a de bonnes chances pour qu’elle reste dans l’assiette, ou au moins qu’elle ne s’en détache que très lentement. Il s’agit donc là d’une différence de viscosité.

3. Si on écrase un légume ou un fruit sans le faire cuire, le résultat ne s’appellera pas soupe/potage/consommé (à l’exception du gazpacho et autres rares soupes crues). Par exemple le guacamole est une purée d’avocat mais pas une soupe d’avocat.

À mon avis une différence fondamentale d’avec la soupe et le potage, c’est la fonction : une purée n’est pas servie en lieu et place et ne remplace pas une soupe ou un potage etc. dans un repas parce qu’une purée est aussi une préparation, davantage qu’un mets seul il me semble. Tel un accompagnement et comme on l’a dit dans une autre réponse bien des locuteurs pensent d’abord à la purée de pomme de terre, mais vu un régionalisme je suis plus familier avec les patates pilées, peu recommandables pour la ligne et donc j’associe encore davantage la purée aux fruits, comme la compote de pommes, voire à la nourriture pour bébé, que j’adore, qu’aux légumes mais tout de même. Par ailleurs une purée peut certainement servir à préparer une une trempette et souvent dans un potage pourrait-on dire que l’ingrédient comme le légume est en purée.