Dans la première phrase, on désigne une chose particulière, l’eau. Un article est requis.

J’ai peur de l’eau. (I’m afraid of (the) water)

Dans la deuxième phrase, ce qu’on souhaite dire, c’est :

J’ai besoin de de l‘eau. (I need (some) water)

comme on aurait pu dire :

Il me faut de l‘eau.

Il s’agit alors de la préposition de (avoir besoin de) suivie de l’article partitif de la.

Cependant, on ne dit jamais de de la, cette forme est réduite en de (ici d’ par élision) qui joue donc le rôle à la fois de préposition et d’article :

J’ai besoin d‘eau.

S’il s’était agit d’une eau déterminée, on aurait dit :

J’ai besoin de l‘eau (qui est dans ta bouteille). (I need the water.)

comme on aurait pu dire :

Il me faut l‘eau (qui est dans ta bouteille).