On dit « Je suis meilleur en anglais. ». (Je suis bon en anglais.)

On dit « Je parle mieux. » parce que l’on dit « parler bien. » et jamais « parler bon. ».

Non, « être » ou le verbe, quel qu’il soit, n’a rien à voir là-dedans. Ce qui détermine
le comparatif c’est l’usage, c’est à dire l’adjectif que l’on utilise d’habitude. In French « bon » et « bien » ont chacun leur comparatif, à la différence de l’anglais qui n’a que « better » pour les deux.

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Il est souvent difficile de deviner le sens de phrases en l’absence de contexte mais voici comment on peut interpréter celles de la question :

1. Je suis mieux en anglais.

« J’ai fait des progrès en anglais » (registre relâché)
« J’apprécie plus les cours d’anglais » (c-à-d « Je me sens mieux en anglais »)
« Ma prestation est meilleure quand je m’exprime ou suis doublé en anglais »
…

I feel better in English, I look better in English.

Bien que "je suis mieux" soit une tournure relativement récente et plutôt relâchée, en voici une occurrence ancienne et littéraire :

Je suis mieux en tout quand je me contiens. Mme de Stael, Delphine, 1802.

2. Je suis meilleur en anglais

« Mon niveau en anglais est supérieur à mon niveau dans une autre matière »
« En anglais, mon niveau est supérieur à celui de quelqu’un d’autre ».

I’m better in English.

La deuxième tournure est beaucoup plus courante.