Il est tout à fait possible de dé-corréler le genre et la personne en utilisant son activité vitale, les temps simples (imparfait, présent, futur) et le dialogue, sans oublier les prénoms aussi bien féminins que masculins:

Après avoir réglé les derniers détails du dossier X.. contre Y.. je
décidais de m’octroyer une fin de journée distrayante.
Demain je
serai la partie adverse d’un confrère ou d’une consœur … un jeu de miroir.

Allo Camille? .. c’est Claude à l’appareil, je peux passer te prendre
tout à l’heure …

It’s true that it would be a grammatical mistake to write “Je me suis levé” when the narrator is a woman, just to keep the gender secret; even if we don’t know the gender yet, you have to write “levée”.

To avoid such phrases where the gender is revealed might be a little bit more difficult in French than in English, but it is not so difficult with a little bit of imagination.
“Je me suis levée tôt ce matin…” could be replaced by “Ayant quitté mon lit tôt ce matin…”.
You will have to avoid phrases with “je suis partie (ou restée, etc.)” by using passive sentences or others detours.

Note that if you really want to play with the gender of the narrator, using (some) job titles as neutral is possible.

« Bonjour Docteur ! »

Le juge est arrivé.

Le médecin a dit que…

Le professeur pense que …

In these examples, the doctor, judge, doctor (again) or professor could be either a man or a woman (same as English). Even if “le juge” is a woman, you don’t write “Le juge est arrivée”. But you might write “La juge est arrivée”. Still, using male form as neutral is possible (and feminist people might consider it more correct).