Voici ce que donne Wikipédia, mais sans référence pour l’instant :
Les guillemets droits doubles ou simples (” ” et ‘ ‘) sont souvent employés en dactylographie, en raison d’une fréquente absence de touches correspondant aux guillemets français sur les claviers de machines à écrire et d’ordinateurs. Cet usage est cependant déconseillé par l’Académie française.

complement added 02/09/18

Voilà une raison assez convaincante tirée de Wikipedia en anglais

Une raison plausible n’a rien à voir avec les claviers de machine à écrire et date de bien avant ces avancées historiques dans la technologie de l’écriture. Elle est donnée en quelques mots ici, voir le lien pour un grand nombre de détails.
Pendant longtemps avant le XVIII siècle les guillemets consistaient de deux marques arrondies vers l’extérieur et ils étaient utilisés ainsi dans toute l’Europe, jusqu’au XVIII siècle, où la forme et l’usage des guillemets a commencé à se particulariser dans les diverses régions de l’Europe de l’ouest; selon certains chercheurs le guillemet français a évolué de la forme en 2 apostrophes à la forme en 2 chevrons sous l’impulsion d’un soucis de préserver dans l’ensemble des signes du langage des signes qui auraient été suffisamment différents des apostrophes ou virgules.

Pourquoi existe-t-il cette différence entre la typographie française et anglaise, à savoir « et » vs “ et ” ?

Les raisons sont historiques. Ces differences ne concernent pas que ces deux pays, il existe bien d’autres variantes, en particulier les » guillemets inversés « utilisés en allemand et d’autres langues.

Cette différence existe-elle dans les autres pays de la francophonie ?

Les règles de typographie peuvent varier un peu au sein de la francophonie, leur respect aussi…

La seule raison que je peux imaginer c’est que sur les machines à écrire, les guillemets anglais n’ont pas de sens d’ouverture ou de fermeture, ils sont donc moins précis (” et “).

Ce ne sont pas exactement des guillemets anglais, dont les versions ouvrantes et fermantes sont distinctes, mais des guillemets dactylographiques, droits.

Peut-on employer dans un texte français les guillemets anglais ?

Personne n’a été mis en prison pour ne pas avoir utilisé les « bons » guillemets…

Les guillemets utilisés sont souvent ceux qui sont accessibles au clavier de la personne qui saisit le texte, donc les guillemets droits pour la plupart des claviers. Si un traitement de texte est utilisé et que la langue du document est définie, les guillemets sont souvent automatiquement convertis dans le bon format. En revanche, si le texte est saisi via une formulaire Web, les guillemets “droits” subsistent. C’est pourquoi beaucoup de contributions françaises sur FSE les utilisent. Entrer les guillemets français (doubles chevrons) est souvent compliqué et non intuitif.

Par exemple, dans le cas où une citation doit contenir une autre citation, est-il possible d’utiliser les guillemets français conjointement aux guillemets anglais pour éviter le problème des guillemets emboîtés ?

Ce n’est pas recommandé par l’Imprimerie nationale (française), mais c’est le choix de nombreux journaux.