Cette phrase est correcte, on peut remplacer "dire" par une multitude de verbes pour préciser la façon de dire : "chuchoter", "crier", "hurler", etc.
De mémoire, je dirais que "grommeler que" est plus utilisé que "grogner que", mais ce dernier reste valide, même si le sens diffère légèrement.

Grogner suggère plus des sons sourds et inarticulés qu’un discours intelligible. Ceci explique probablement la rareté des occurrences de grogner que.

On pourrait plutôt écrire:

Elle grogne pour manifester son mécontentement.