You are right being confused by the future tense. In that sentence, what would have been acceptable is the conditionnel passé (aka futur antérieur du passé):

Donc j’avais peur de tester positive une fois que je serais rendue à l’hôpital.

or, to stick to a French I’m more familiar with:

Donc j’avais peur d’avoir un test positif (or d’être testée positive) une fois que je serais arrivée à l’hôpital.

but que and a verb is not really needed and I’d rather write:

Donc j’avais peur d’avoir un test positif un fois arrivé(e) à l’hopital.

Here is a feedback to all your sample sentences:

1. Donc j’avais peur de tester positive rendue à l’hôpital Correct, regional.
2. […] une fois que je serai rendue à l’hôpital. → que je serais rendue: Regional.
3. […] une fois que je serai arrivée à l’hôpital. → que je serais arrivée : mainstream French
4. […] une fois que je suis arrivée à l’hôpital. → Not very idiomatic
   You’d rather say: J’ai eu peur de tester positive une fois que je suis arrivée à l’hôpital. (different meaning: I didn’t thought about it before)
5. […] une fois que j’ai été arrivée à l’hôpital. → Not grammatical
   J’ai été arrivée never works: "I was arrived" ??
6. […] une fois que je me serai rendue à l’hôpital. → je me serais rendue
7. […] une fois que je me rendrai à l’hôpital. → Not grammatical (tense mismatch)
   You might say: Donc j’aurai peur de xxx un fois que je me rendrai à l’hôpital. (different meaning)
8. […] quand je serai arrivée à l’hôpital. → Same as 3.
9. […] en arrivant à l’hôpital. → Correct
10. […] en étant rendue à l’hôpital. → Regional
11. […] en étant arrivée à l’hôpital. → Questionable
    That would mean the test was performed before or during the trip to the hospital and the result given as soon as I arrived.
12. […] en me rendant à l’hôpital. → Correct
    During the trip, I was afraid of what the test result would be.
13. […] une fois que je me suis rendue à l’hôpital. → Questionable
    I was afraid only after being arrived there.
14. […] une fois que je suis rendue à l’hôpital. → Same as 4.
15. […] une fois que je me rends à l’hôpital. → Not grammatical

A) 1/ The original sentence is not good French in several respects.
2/ (2) is an improvement: "une fois que" makes more explicit the time relationship between the actions.
3/ (3) shows an additional amelioration over (2): "serai rendue" is incorrect as it should be "me serai rendue"; at least "serai arrivée" is correct, but from the point of view of using the proper vocabulary, only.

(2) and (3) are not grammatically correct: there is a matter of tense that makes them incorrect, but since you examine tenses in detail in what follows I’ll take that up as you raise the question.
The word "rendu" as an adjective is a recent addition to French (rendu, adj.); nevertheless, it is not used here according to its meaning; this is so because you say that at the end of trip to express the idea that your destination has been reached. The verb using "rendre" which has to do with going places is the pronominal verb "se rendre", which means strictly "to go".

B) The tense is not correct merely in virtue of a matter of correspondence.
As the word is an adjective, it can be considered that the tense is the future simple. But that is not the right tense.

The tense and mood are usually the same as in the main clause; so the right phrasing (grammatically) is as follows.

• Donc j’avais peur de tester positive une fois que j’arrivais à l’hôpital. (She was due to spend some time in a hospital.) [1]
• Donc j’ai peur de tester positive une fois que j’arrive à l’hôpital. (She is due to spend some time in a hospital.)
• Donc, j’aurai peur de tester positive une fois que j’arriverai à l’hôpital. (Semantically, this is not possible since she is already afraid while speaking, but the next sentence makes sense, and illustrate the general principle.)
• J’ai une bonne formation d’infirmière. Donc, je n’aurai pas peur de faire des erreurs une fois que j’arriverai à l’hôpital.
• J’avais une bonne formation d’infirmière. Donc, je n’ai pas eu peur de faire des erreurs une fois que je suis arrivée à l’hôpital.

A much better option than using [1] above consists in using a future in the past (ref;).

• Donc j’avais peur de tester positive une fois que j’allais arriver à l’hôpital.

Nevertheless, if the action of arriving at the hospital is hypothetical, then the "conditionnel" is the mood to use ("présent" and passé").

• Non, je ne voulais pas aller à l’hôpital, il y avait certains dangers. Donc j’avais peur de tester positive une fois que je serais arrivée à l’hôpital.
• Non, je ne veux pas aller à l’hôpital, il y a certains dangers. Donc j’ai peur de tester positive une fois que j’arriverais à l’hôpital.

C) "(3)" is wrong. "(4)" is not correctly described; the présent form that corresponds to "je serai arrivée" (which includes "arriver" in the "futur antérieur") is "j’arrive", not "je suis arrivée" ("passé composé") . "(4)" is grammatically correct, but semantically wrong (discussed in the next section), not equivalent.

D) No question in the light of "B)"

E) You are quite correct as far as the choice of verb goes, see "A)". In (6) you are not using the verbal locution "être rendu" where "rendu" is an adjective but the verb "se rendre" (pronominal), and, therefore, this is the "future antérieur", where "rendue" is the past participle.
No, of course (6) and (7) are not equivalent since the tenses are different.

F)

(TLi) Une fois que Marque l’antécédence en insistant sur le caractère accompli ou perfectif du procès. Synon. après que.

This locution can be taken as synonymous to "quand", since it means "après que".

(TLFi) 1. [Pour marquer la simultanéité avec le fait exprimé par le verbe de la princ.] Au moment où, dans le temps que. Synon. lorsque (lang. écrite).
a) [Le verbe de la sub. marque un intervalle clos (au passé simple, au fut., au prés. hist., à un temps comp. signifiant l’antériorité temp.) ou s’y réfère]
♦ Quand il entra dans la chambre conjugale, MmeBombard n’y était pas.
♦ Quand j’ai vu mes méthodes confirmées par l’expérience, je n’ai eu qu’une hâte.

I believe you could use "quand" instead of "une fois que".

G) "(9)" and "(11)" are grammatically correct; "(8)" and "(10)" are not (wrong tense in "(8)", but that is all (grammatically)). Only "(9)" is equivalent to "(8)" from the strict point of view of semantics.
You are mixing sub-standard "être rendue" and "se rendre"; the meanings are not the same. The gerund in French is used to express simultaneity, cause, and condition and so may be ambiguous.

H) Those sentences are correct grammatically (provided the non-standard form "suis rendue" is taken as standard). The "passé composé" would also be correct in the main clause.

• Donc j’avais peur de tester positive une fois que je suis arrivée à l’hôpital.
• Donc j’ai eu peur de tester positive une fois que je suis arrivée à l’hôpital.

However, you change the point of view. Whereas by means of

• "Donc j’avais peur de tester positive une fois que j’arrivais à l’hôpital." (a1)

and

• "Donc j’ai peur de tester positive une fois que j’arrive à l’hôpital." (b1)

the person speaking is saying "I was afraid (then) that when I would get to the hospital (later) I would test positive" ((a1)) and "I am afraid (now) that when I get to the hospital (later) I should test positive." ((b1)), when using

• Donc j’avais peur de tester positive une fois que je suis arrivée à l’hôpital. (a2)
• Donc j’ai eu peur de tester positive une fois que je suis arrivée à l’hôpital. (b2)

they are saying in both cases ((a2) and (b2)) "From the time I reached the hospital I was afraid of testing positive."

I) The fact that DeepL does not recognize the pseudo adjectival construction "être rendu" is one more proof that the word is recent addition, that is not used much.

I’m trying to figure out how to apply the contrasted "Je suis rendue" and "Je me suis rendue", with how "Je suis rendue" corresponds with the original sentence:

• If "Je suis rendue" ("Être" in the present, + rendu) corresponds to (2) above ("Être" in the future simple, + rendu),
• does "Je me suis rendue" ("Se Rendre" in the passé composé) corresponds to (15) below ("Se Rendre" in the présent)?

Your reasoning in first recognizing a contrast between the two forms and secondly in trying to establish a correspondence is rather impenetrable, but I’ll try to make the most I can out of it.

("Être" in the present, + rendu) ("Être" in the future simple, + rendu)
suis rendu —–>serai rendu
me suis ren