1. La raison évidente est que les noms en français sont utilisés avec un article (qui n’est pas l’article zéro comme c’est le cas pour beaucoup de noms anglais); on dit donc « le matin »; comme la garderie est celle qui a lieu le matin on devrait dire « la garderie de le matin », mais comme cette combinaison (de le ) est toujours contracté en « du » on se retrouve avec « la garderie du matin ».

2. « Matinal »¹ n’est pas utilisé dans ce cas; c’est n’est tout simplement pas idiomatique; cela aurait pu être un choix mais il n’a pas été fait. « matinal » quand il est utilisé pour les êtres vivants signifie « qui se lève tôt » mais cela n’a rien à voir avec l’usage dans « garderie du matin ».

3. On ne dit pas la « garderie matin » parce qu’en français on ne construit pas beaucoup de noms composés de cette façon et que l’on utilise le plus souvent une préposition; par exemple pour le mot « clapier » on peut dire « cage à lapins » mais pas « cage lapin ».
   Pas de « morning nursery » en français!

¹_{Après une correction par @Laurent S.}

Garderie du matin est une exception partagée avec garderie de l‘après-midi.

La plupart et peut-être toutes les autres combinaisons de ce style ne prennent pas d’article après la préposition de:

Garderie de jour

Garderie de nuit

Garderie de midi

Garderie de week-end

Garderie de semaine

On retrouve la même impossibilité avec travailler et voyager : Je travaille/je voyage de jour, de nuit mais pas je travaille/je voyage de matin. C’est en revanche possible avec l’adjectif bon en apposition : Je travaille de bon matin.

Garderie matinale est moins courant mais se dit. Il n’y a pas de différence de sens avec garderie du matin.

Garderie matin pourrait éventuellement être utilisé dans un message de style télégraphique ou un SMS, mais pas vraiment à l’oral ou dans un écrit soigné.