Ils sont synonymes.

Pour la plupart du temps, on utilise le mot futur quand on parle du temps grammatical, donc futur est un terme de grammaire. Pour tous les autres cas, on préfère se servir du mot avenir. Il est aussi d’autres cas où l’on pourrait utiliser futur et où futur convient mieux au contexte, par exemple, quand futur est un adjectif, ou pour dire « ce qui sera ».

Voici la remarque qu’a écrit Littré dans son dictionnaire :

FUTUR, AVENIR. Le futur est ce qui sera ; l’avenir est ce qui
adviendra. Ces deux sens se confondent dans l’usage presque toujours :
les siècles à venir ou les siècles futurs ne présentent pas d’autre
nuance que celle qui est dans la notion même d’être ou de venir. Il
n’y a que dans la langue du droit où futur ne peut être remplacé par à
venir : les futurs conjoints. On dirait cependant l’héritier à venir
aussi bien que le futur héritier.

Les implications de futur et avenir viennent toutes les deux du latin.

Ce que je comprends, c’est que futur en latin implique une série d’évènements qui n’est pas nécessairement claire mais qui va arriver néanmoins : le mot futur est une idée abstraite chronologique.

Le mot avenir implique quant à lui quelque chose qui va arriver, qui est également envisageable et qui se rapporte au présent.

Par exemple :

Il est promis à un grand avenir.

Il se prépare un futur qui n’est guère meilleur que le passé.

Bien que ce soit un usage tout à fait personnel, je rattache avenir à projet, et futur au temps.

A projet j’associe ici la notion de nécessité (orientation de l’affect) qui propulse l’humain dans son avenir (à venir), avec les déclinaisons qu’en a fait Homère.

Sinon passé, présent, futur sont des enfants de Chronos.

Dans un contexte courant, on va voir une cartomancienne pour se faire prédire l’avenir parce que l’on cherche à connaître par avance l’orientation que le mouvement du temps va déterminer.

Le futur sera alors la réalisation d’un des avenirs possibles.

C’est une question de consonance avec à venir : inverser ces deux mots laisse la phrase compréhensible sans en modifier la signification, mais n’est pas naturel.

Complément : Le nouveau petit Le Robert semble abonder dans ce sens :

futur
adjectif :
– qui appartient à l’avenir,
– qui sera tel dans l’avenir
nom :
– Partie du temps qui vient après le présent
– futur est abusivement utilisé pour avenir sous l’influence de l’anglais future.

⚠ un exemple fourni à l’entrée avenir vient confirmer l’usage abusif : « le passé, le présent et l’avenir », sans annotation ou remarque sur cet abus de langage.

Je ne crois pas que futur et avenir portent exactement le même sens, ni ne s’utilisent toujours dans le même contexte. Mais distinguer la différence demande sûrement beaucoup d’habitude. Je pense qu’on parle essentiellement de l’avenir de quelqu’un ou de quelque chose :

C’est l’avenir de nos enfants.

Quel avenir pour le pays ?

Le Minitel n’a pas d’avenir.

Alors qu’on parle du futur comme d’un concept en soi, ou bien on l’utilise comme un qualificatif :

Dans le futur, le tourisme spatial sera très répandu.

Le futur simple appartient au mode indicatif.

C’est ma fiancée, ma future femme.

Cependant, on peut aussi utiliser à venir pour qualifier quelque chose qui commence immédiatement et s’étend dans le temps :

On prévoie du beau temps pour les jours à venir.

Ici on parle en quelque sorte de l’avenir du jour présent ! On peut tout aussi bien utiliser les jours futurs, mais cela sonne comme de la poésie, et ne commence pas aujourd’hui.

L’avenir est aussi un concept, mais mon sentiment est que quand on parle de l’avenir, on parle implicitement de notre avenir, voire de l’avenir de l’humanité ou de la planète :

On ne sait jamais de quoi l’avenir sera fait.

Les émissions de dioxyde de carbone sont-elles un danger pour l’avenir ?

Il y a aussi des expressions toutes faites (idiomatiques ?), comme à l’avenir, pour une prédiction ou un désir pour le futur :

Tu as fait une bêtise. A l’avenir, que ça ne se reproduise plus !

Bref, voilà quelques exemples où l’on distingue les deux mais ils sont souvent interchangeables. Tout comme power en anglais peut se traduire soit par pouvoir, soit par puissance, soit par les deux à la fois.

Le futur est la rėalitė du temps qui passera d’une façon inėxorable. L’avenir est une rėalisation de soi, seul ou å travers d’autrui.