Il n’y a rien de particulier en ce qui concerne le mot « avec »; prenons le mot « à » et le même problème se pose; par exemple dans « Il a pris part à une fête religieuse. » la liaison ne se fait pas non plus avec la dernière lettre de « part » mais elle se fait avec la lettre « r » (…pris para une…). Lorsque les liaisons sont faites dans ces cas-là (avec le t au lieu du r) on les appelle des liaisons mal à propos. Il n’existe pas de règle unique mais tout un ensemble de règles pour les liaisons; il existe trois types de liaisons : les liaisons obligatoires, les liaisons facultatives, et les liaisons interdites ou en d’autres termes mal à propos. Pour une personne étrangère qui apprend le français un dictionnaire qui traite des liaisons est nécessaire si elle est soucieuse de les respecter scrupuleusement. Pour les indigènes les liaisons correctes s’apprenne en parlant et en écoutant. Un étudiant étranger peut donc aussi apprendre les liaisons au moyen de matériel audio et/ou en participant à des discussion en français. Le problème des liaisons est un véritable problème de la langue française et il faut savoir que même les français parfois ne savent pas s’il convient ou non de faire une liaison.

Dans « Il voit avec plaisir. » la liaison est interdite.

Une liaison n’est que très rarement considérée obligatoire.
Elle est bien plus souvent facultative ou interdite.

Ne pas en faire donc est souvent… prudent.

On considérerait :

• La liaison facultative entre le verbe et son complément comme dans Il voit avec plaisir

Attention tout de même… dans certains cas, certains milieux… adopter une règle facultative est rapidement assimilé à de l’affectation.

Dans cet exemple précis, je ne fais pas la liaison.

• La liaison interdite entre un mot au singulier se terminant par une consonne muette ou deux consonnes dont une seule est sonore, ce qui est le cas de part d’où :
  chacun prend part… avec joie… Avec joie certes… mais… sans liaison 🙂

EDIT : Suite à une observation juste de Montée de lait en commentaires :

Vit se termine par une brêve et avec commence par une brêve.
Dans cette circonstance, un narrateur appliqué va devoir soit marquer une pause entre les deux soit ajouter un truc entre les deux.
On observe qu’il préfère souvent (quand c’est possible) la seconde solution au temps mort. La possibilité d’une liaison offrant cette opportunité, on dira alors avec Homère et Montée de lait : il vi-t-avec sans qu’il soit effectivement question d’affectation. Il s’agit juste d’élocution.

Cette justification ne vaut évidemment pas pour voit qui se termine par une diphtongue c’est donc encore à dire une longue.