Une petite variation de ta proposition :

Me tenir informé(e).

On la trouve couramment dans les formulaires de pages web et elle implique que cette information sera offerte gratuitement.

Suivre semble être le mot parfait pour ce que tu décris. C’est un mot qui est utilisé sur la majorité des plateformes en ligne pour cette fonction. C’est tellement commun que la définition est aussi dans les dictionaires. Voici la définition du larousse:

En parlant d’une personne inscrite sur un réseau social, recevoir volontairement les informations publiques émanant du profil d’un internaute ou d’un site Web dès leur mise en ligne : Suivre un homme politique sur un réseau.

La définition parle d’un réseau social, mais le concept reste le même: on veut "suivre l’information et la recevoir dès la mise en ligne". Il est assez difficile de trouver un autre mot puisque c’est le mot qui correspond, mais voici quelques alternatives: observer, surveiller, s’informer, notifier.

M’inscrire me semble convenir. Son sens est d’ajouter son nom à une liste et n’implique généralement aucun paiement (même si on peut aussi inscrire son enfant pour un séjour/colonie de vacance impliquant un paiement par la suite).

D’ailleurs il me semble que s’inscrire à une newletter/ lettre d’information est tout à fait courant, même si l’on rencontre peut-être plus couramment Me désinscrire qui figure en pied de page de la plupart des e-mail commerciaux.

j’ajouterais cependant de s’abonner sera bien compris comme gratuit s’il est clairement question d’une newsletter/lettre d’information