Je crois que dans les faits, il y une certaine variation entre le singulier et le pluriel. Après tout, au sens de “interpréter un rôle” (Je joue la servante dans cette pièce.), duquel cette expression est directement dérivée, le verbe prend très bien un complément singulier. Donc, autant le pluriel que le singulier est valide après jouer puisque de toute façon le sens très exact du mot dans cette phrase n’est pas vraiment déterminable.

Il est clair qu’on ne peut pas justifier un pronom singulier avec un référent pluriel ici. Ça ne passe tout simplement pas. Je suis d’accord que la troisième version est un peu plus idiomatique, mais la première est grammaticalement tout aussi impeccable.

From a purely academic grammatical point of view, it should be :

à leur hauteur !

This is a very simple rule of grammar who does not care about the context of the sentence. From the same perspective, if you wanted to say

Of all bats, Batman is the best !

You would say :

De toutes les chauves-souris, Batman est la meilleure !

Eventhough we know Batman is a male, we still use the feminine form, as we refer to a bat, which is feminine in french. The same rule applies here.

As for your question, the most idiomatic and natural way to express it would be :

Je ne peux pas jouer la mégère qui ne trouve pas de rival à sa hauteur !

It is not incorrect ; actually, both of your propositions are correct, but the singular version feels more natural for a native speaker, as they will be referring to themselves.