Bonjour !
Dans votre contexte, on ne peut pas dire de manière correcte “rien que”, mais “ne … rien que”. “S’ils ne m’avaient laissé rien qu’une minute de plus,…”.
En revanche rien que peut s’utiliser dans “Rien que cela aurait pu suffire ” –> “Just this would have sufficed”

En espérant vous avoir aidée, désolé pour ma traduction approximative.

I feel the two sentences say about the same thing, the first one maybe conveying more insistence on “just a little minute”, but the first one feels “vulgar” to me, i.e. grammatically broken, because it lacks that ne to make the negation of the verb complete. No doubt you will hear it in the streets. But I hope it’s yet not taught in schools.