Puisque l’espoir est illusoire, ce papier n’existe pas et le mot de passe n’a pas pu y être écrit. L’indicatif est donc plutôt malvenu.

Je commence à ouvrir les tiroirs, l’un après l’autre, dans l’espoir illusoire d’y trouver un bout de papier sur lequel B aurait pu l’écrire.

Ou alors, on sait que B a écrit son mot de passe sur un bout de papier, mais il n’y a aucune chance qu’il se trouve dans l’un des tiroirs :

Je commence à ouvrir les tiroirs, l’un après l’autre, dans l’espoir illusoire d’y trouver le bout de papier sur lequel B a pu l’écrire.

Le conditionnel est aussi possible.

Je commence à ouvrir les tiroirs, l’un après l’autre, dans l’espoir illusoire d’y trouver le bout de papier sur lequel B aurait pu l’écrire.