Bien qu’on ne connaisse pas le contexte dans lequel elle est utilisée, la formule est un peu inattendue mais reste défendable.

D’une part, le temps tourne à la pluie ne décrit pas forcément un changement soudain comme présumé dans la question. Il se met rarement à pleuvoir sans que des signes avant-coureurs ne se manifestent. La personne peut donc avoir le temps de se munir d’un parapluie durant la période de transition vers le temps pluvieux.

D’autre part, ayez un parapluie peut se comprendre comme faites en sorte d’avoir un parapluie avec vous. Une personne n’ayant pas anticipé le changement de temps peut là aussi disposer d’un peu de temps pour se conformer à la recommandation.

L’impératif ayez est rare. Quelques occurrences rencontrées dans la littérature montrent bien qu’il peut signifier : prenez soin/faites en sorte d’avoir :

Mais, au théâtre, méfiez-vous, ayez un talisman, soyez sûr de prendre le public par des moyens connus; autrement, vous êtes un maladroit, et c’est bien fait si vous restez par terre. Le naturalisme au théâtre : les théories et les exemples, 1895, Émile Zola

J’aurais néanmoins plutôt tourné la phrase de la question comme ceci :

Si le temps est pluvieux, n’oubliez pas de prendre un parapluie.

D’autres suggestions extraites des commentaires :

Si le temps tourne à la pluie, soyez sûrs d’avoir un parapluie avec vous.

Ayez un parapluie pour le cas où (il pleuvrait).

La logique de la dernière (un parapluie sert quand il pleut) m’inspire :

Prenez un parapluie au cas où.