« Les choses qu’il a continué de faire » est la forme correcte.

accord Le participe passé ne s’accorde pas si le COD du verbe au participe passé n’est pas le sujet de l’infinitif.

• Les feuilles que j’ai vu prendre sont jaunes.
  Les feuilles sont prises par quelqu’un, elles ne font pas l’action, donc on n’accorde pas le participe passé. « Que » est le COD de prendre et non de « vu ».

Addition suggérée par user Laurent S.

Le participe passé s’accorde si le COD du verbe conjugué est sujet de l’infinitif.

• Les personnes que j’ai vues entrer sont charmantes.
  Qu’est-ce que que j’ai vu ? les personnes (COD de voir)
  Qui est entré ? les personnes (sujet de entrer)

Un exemple de plus

• Les feuilles que j’ai vues tomber étaient encore vertes. (même raisonnement que pour l’exemple précédent)