Ça s’analyse comme « breveté SGDG », qui est un terme bien établi (réf.), ou encore et plus exactement comme « fait-main » Wiktionnaire.

fait-main Composé de fait et de main. Adjectif
fait-main fɛ.mɛ̃ masculin et féminin identiques

Fabriqué manuellement ou de façon artisanale et non-industrialisée.

1/ La nature du terme est évidemment adjectivale et sa fonction est celle d’épithète.

2/ Ce qui vient à l’esprit dans le cas de « fait-main », c’est la préposition « à ». Ce n’est pas une préposition qui semble naturelle pour « vaccinée deux doses » et elle est très loin d’exprimer ce qui est impliqué ; la formation telle qu’analysée selon le TLFi repose sur le principe de l’ellipse, et on peut supposer un bon nombre de possibilités de combinaisons à omettre par ellipse.

P. ell. Cousu, fait main; broderie main. Poudrier guilloché main (Catal. jouets [Trois Quartiers], 1936).Pour la bicyclette et le sport, vous aimerez ces gants en tricot main pour le dessus, et à l’intérieur, de peau de chèvre, cousu sellier (L’Œuvre, 31 mars 1941).

La préposition « de » est néanmoins à peu près convenable, même si elle ne peut pas remplacer plusieurs mots.

• personne vaccinée de deux doses.

3/ Il n’y a aucune extension abusive du mot « dose », pas plus qu’il y en aurait une du mot « main » dans « fait main ». Il s’agit seulement d’une formation sur un modèle donné qui ne prend de sens que par définition, c’est un nouveau mot. Un formulation en terme d’une expression pourrait être comme suit.

• vaccinée une seconde fois après un laps de temps nécessaire pour laisser l’organisme assimiler la première dose