Dans un proposition relative, il est permis (mais pas obligatoire) d’inverser le sujet et le verbe, sans que cela ne change le sens. Ces deux phrases ont exactement le même sens:

J’aime bien le cadeau que mon frère a acheté.

J’aime bien le cadeau qu’a acheté mon frère.

Dans l’exemple de la question, c’est bien cette inversion qui est utilisée:

un combat que doivent porter tous les Français

est équivalent à

un combat que tous les Français doivent porter

Notez que cette inversion n’est possible que si le sujet un nom ou un groupe nominal – pas un pronom:

J’aime bien le cadeau que tu as acheté.

J’aime bien le cadeau qu’as-tu acheté .