Non. La phénomène de vouvoiement et tutoiement est une question distincte. Quand on veut parler d’un groupe de personnes dont le parleur est un membre, on peut choisir d’utiliser les deux: “nous” ou “on”. Attention: “nous” se réfère toujours aux groupes dont le parleur est un membre; en revanche, “on” peut aussi vouloir dire “je”, “personnes en général”, ou même “vous”.

Généralement, on est légèrement plus familier que nous, mais sans jamais être incorrect. Son emploi n’est pas réellement lié au tutoiement ou au vouvoiement.

Ainsi:

Nous irons demain.

Nous sommes prêts.
Sommes-nous invités à cette réunion ?

sont tout à fait appropriés dans les cas où un certain niveau de langage est requis, et où généralement l’on vouvoie. En famille, entre amis, cela peut sonner un peu formel ou sérieux, sans que ce ne soit à bannir pour autant, et bien que l’on y utilise le tutoiement.

Tandis que:

On ira demain.
On est prêt.
Est-on invités à cette réunion ?

sont appropriés dans des cas moins formels, mais ne tombent pas dans le familier. J’emploie régulièrement ces tournures avec mes collègues, par exemple. Même avec ceux que je vouvoie. Je les emploie aussi en famille, parfois, alors que j’y utilise le tutoiement.

Enfin:

On y va demain.
On est prêt.
On est invités à cette réunion ?

relèvent du langage familiers (la seconde est bien la même que plus haut : elle n’a pas que je sache de tournure plus familière). A moins de proches collègues, avec qui on se permet parfois quelques familiarités, ces tournures sont à réserver au cadre amical ou familial (sauf la seconde évidemment, puisque c’est la même que plus haut).

Ce sont des phénomènes séparés mais pas indépendants.

L’utilisation de on pour dire nous (ce qui ne recouvre pas tous les usages de on), c’est du langage courant, peu formel.

L’emploi de vous plutôt que tu est essentiellement une marque de respect.

Généralement on est plus formel face à des personnes qu’on vouvoie, mais ce n’est pas le seul contexte où on est formel et on peut adopter un langage plus familier même avec des personnes qu’on vouvoie (je vouvoie mon voisin, en partie à cause de la différence d’âge, mais je suis globalement moins formel avec lui qu’avec mon patron que je tutoie pourtant — mais je ne suis pas sûr que je sois si formel avec lui que j’évite on pour nous).

Pour le remplacement de nous par on, voir aussi la question correspondante, ou la réponse de Slublu.

Si la forme nous est en général utilisée pour la première personne du pluriel, elle peut également être utilisée pour une personne unique, on parle d’un pluriel de majesté (ou majestatif mais je ne retrouve pas ce mot dans le TLF):

Nous, préfet de la Seine, ordonnons…

On peut également utiliser nous pour une deuxième (voire troisième) personne:

Ne nous énervons pas! (pour Ne t’énerve pas! ou Ne vous énervez pas!)

Ce qui rejoint la question initiale, et on voit même que nous peut être une bonne manière d’éluder la problématique tu/vous.

En bref, les différences entre ces formes sont plus subtiles qu’on (ne) pourrait le penser de prime abord et il nous serait préférable de lire en détail l’entrée du TLF sur nous qui explique tout ça bien mieux.

Le 《on》 est utilisé pour une généralité, qui ne désigne pas quelqu’un de particulier. Aujourd’hui beaucoup l’utilise couramment, par exemple: 《on va se promener.》 C’est une faute de français, on devrait dire 《Nous allons nous promener.》 Malheureusement,la langue française (la vraie) se perds et pour les gens utiliser le pronom 《nous》 est devenu du langage soutenu alors que ce n’est pas le cas, ça s’appelle bien parler.
Normalement: Je, tu, il/elle, nous, vous, ils/elles.
Pour beaucoup de gens: Je, tu, il/elle, on, vous, ils/elles…