When the sentence begins with some adverbs such as peut-être, ainsi, à peine, encore, etc., you must indeed use a subject/verb inversion as you would do it for an interrogative sentence.

Note that in colloquial, spoken French, you could say Peut-être qu’il a fait de même with no inversion.

Peut-être en a-t-il fait de même. est plus complet que Peut-être a-t-il fait de même.

en remplace que (moi, …)

de même implique de même que …

Cela suppose donc une suite (en remplace cette suite).