L’inversion n’est pas obligatoire, on pourrait tout aussi bien dire :

Tu as dû bien t’en tirer, vu le souvenir que les hommes du président en ont gardé.

Les 6 formes sont correctes:

en : pronom pour de la situation accolé au pronom relatif que (pour souvenir), avec inversion dans la relative

Tu as dû bien t’en tirer, vu le souvenir qu’en ont gardé les hommes du
président.

de la situation accolé à souvenir, avec inversion dans la relative

Tu as dû bien t’en tirer, vu le souvenir de la situation qu’ont gardé
les hommes du président.

de la situation accolé à souvenir, sans inversion dans la relative

Tu as dû bien t’en tirer, vu le souvenir de la situation que les
hommes du président ont gardé.

de la situation repoussé à la fin, avec inversion dans la relative

Tu as dû bien t’en tirer, vu le souvenir qu’ont gardé les hommes du
président de la situation.

de la situation repoussé à la fin, sans inversion dans la relative

Tu as dû bien t’en tirer, vu le souvenir que les hommes du président
ont gardé de la situation.

en : pronom pour de la situation repoussé dans la relative, sans inversion

Tu as dû bien t’en tirer, vu le souvenir que les hommes du président
en ont gardé.

Inversion

c’est possible avec une relative qui a un sujet qui n’est pas un pronom

La pomme que je mange => pas d’inversion possible.

La pomme que Jean mange ou La pomme que mange Jean.