There is a difference between the 2 phrases, they are not really synonyms:

Faire des pieds et des mains means to make a lot of efforts (not necessarily with material means – cf. infra) to have a favor or a priviledge. It can have a slightly negative connotation, as it may imply the person who does that goes a bit over the line and can become an annoyance to the persons they interact with.

Ex: Cette maman a fait des pieds et des mains pour que son fils ait le premier rôle dans le spectacle de fin d’année: elle a harcelé l’instituteur de coups de fil, elle a fait répéter son fils tous les soirs, elle a même demandé un rendez-vous avec le directeur pour le persuader que son fils était le meilleur choix !

Sortir le grand jeu means to use a lot of material means in order to impress someone (there can be some other objectives as well, but there is this idea of deploying impressive means).

Ex: il a sorti le grand jeu pour sa demande en mariage: il a invité sa fiancée à Venise avec vol en première classe, hôtel 5 étoiles et dîner romantique dans un des meilleurs restaurants de la ville.

Taking again this example for the comparison, it would be a bit awkward to say someone has “fait des pieds et des mains” for a marriage proposal: it would mean the groom-to-be harrassed his fiancée and repeatedly asked her to marry him until she finally gave in.