Je suis québécois, ton interprétation est correcte pour ce qui est du sens de la phrase. La raison pourquoi on dit "la game" est parce que "game" remplace plutôt "partie" et non "jeu". On utilise surtout cette expression lorsqu’on parle d’une partie d’un sport quelconque.

Ce soir, on va regarder la game des Canadiens. (Hockey)

Veux-tu jouer une game de soccer avec moi en fin de semaine?

Donc en réalité la traduction serait littéralement "pour jouer la partie", mais le sens reste le même. Je ne crois pas qu’il y a une "règle" pour le genre des mots empruntés, mais évidemment on essaie de garder le genre de la traduction.