“Pousser la curiosité” n’est pas une expression en soi.

Pousser est utilisé dans le sens II.B.3 du TLF, “Au fig. Conduire, développer”, qui fait parti du registre courant.

“Pousser” signifie entre autres porter ou étendre une entité, abstraite ou morale, quelle qu’elle soit.

Les auteurs classiques ont écrit :
pousser sa fortune (au sens de destinée), ses pensées, son aversion, ses préventions, sa crainte, sa sincérité, la bonté, la vertu, la faiblesse, ses travaux, ses études, des informations judiciaires, l’outrage, une aventure, sa chance, la chose (au sens de différend), etc..

Pousser la curiosité est donc d’un très bon registre de langage.