Dans le cas de avoir chaud, il ne pourrait pas y avoir d’article car chaud est (il me semble) utilisé comme adjectif ou adverbe. Cette construction avoir + adjectif/adverbe (sans autre complément) est cela dit inhabituelle et ne se retrouve que dans quelques expressions figées comme avoir chaud et avoir froid.

Pour avoir peur et d’autres (avoir faim, avoir soif), il y a bien un nom commun qui peut justifier de mettre un article : « avoir de la peur », « avoir de la faim », ces formulations seraient compréhensibles mais sont totalement inusitées, l’usage ayant retenu des formulations figées sans article à la place.

En fait, il n’y a pas de règle pour savoir quand on enlève l’article, il n’y a que des expressions idiomatiques : dans la construction verbe + nom, en principe on utilise un article, partitif si le nom est indénombrable (avoir de la chance, avoir du charme, manger du fromage), mais il y a des expressions courantes que l’usage a figées sans.

À titre d’exemple, cette page donne une liste indicative d’expressions idiomatiques formées d’un verbe et d’un nom sans article :

• avoir peur
• avoir faim
• avoir soif
• donner ordre
• perdre patience
• prendre congé
• faire attention
• garder rancune
• rendre justice
• tenir parole
• demander pardon
• chercher noise
• donner congé
• avoir à cœur
• aller à cheval
• etc.

D’autres encore me viennent à l’esprit : avoir/faire mal, prendre/donner froid/chaud, donner faim/soif, avoir/faire/prendre pitié/peur, rendre compte/service/visite/grâce, procurer satisfaction, avoir peine, avoir besoin de, avoir/prendre soin de, avoir/donner foi en, avoir accès à, … Il doit y en avoir beaucoup, sans vraiment de moyen de les identifier à l’avance ; et par exemple bien qu’on puisse porter chance/bonheur, jamais on ne dira « avoir chance » ou « procurer bonheur ».