Linternaute explique que déjà:

Au XVIe siècle, la mouche désignait un souci, une pensée négative qui arrivait brusquement.

Mais l’esxpression est née plus tard. Le site ProjetVoltaire nous fournit plus de détails:

Quel peut-être le rapport entre l’insecte volant et le fait de se
mettre en colère ? Pour comprendre l’expression prendre la mouche,
il nous faut revenir avant le XVIIe siècle et voir l’usage du mot mouche.

Autrefois, on utilisait ce terme pour désigner différents insectes
volants. La mouche aux bœufs qualifiait le taon, on parlait de
mouche à miel pour l’abeille, de mouche à chien pour la tique ou
encore de mouche cornue pour le scarabée.

On imagine aisément que la mouche qui a inspiré notre expression doit
être la mouche aux bœufs. En effet, elle provoque une réaction si
vive, imprévisible et exagérée sous l’effet de la douleur qu’elle fait
penser à un soudain accès de colère.

On trouve d’ailleurs le sens de cette formule dans la quatrième
édition du dictionnaire de l’Académie française, en 1762

On dit aussi prendre la mouche pour dire se piquer, se fâcher sans sujet.
Et lorsque quelqu’un s’emporte, se met en colère sans que l’on sache
pourquoi, on demande

• Quelle mouche l’a piqué ?

J’ai été surprise te trouver une date encore plus ancienne pour cette expression:

Cette expression date du milieu du XVIIe siècle (mais prendre
mouskes existait déjà au XIVe). Et pour expliquer encore plus la
naissance d’une telle expression, il est intéressant de savoir qu’au
XVIe siècle, mouche employé au figuré désignait aussi une
pensée brusque ou un souci.

• (…) ayant peu d’esprit, il ne
  discernait pas les tons et les caractères, et prenait souvent la
  mouche sur rien. Jean-Jacques Rousseau – Les confessions

(Expressio.fr)