Ça fait deux questions, je commence par la plus facile :

Oui, nons est une erreur d’OCR ou une coquille (typo). Ce devrait être nous.

Pour la deuxième, les si dites est en fait probablement les ci-dites, qui n’est pas une expression courante en français de 2013, elle serait certainement comprise par le public visé (les matheux), mais pas forcément par tout le monde et sonne plutôt désuète et très formelle. Elle signifie « celles que nous appellerons dans la suite ».

Si on veut détailler, ci veut dire ici et dites veut dire appelées. Si j’avais à le traduire en anglais, j’en ferais

that we will call pure proof of existence from now on.

Ce n’est ni vieilli, ni incorrect. Mais du jargon mathématique (relativement) courant.

ci-dites = ici-dites = dites dans le contexte qui nous préoccupe ici

En anglais : the so-called proof of existence ou the said proof of existence.

Sur le fond, Serpinski explique ici que les mathématiciens n’ont pas besoin d’avoir un objet concret sous la main pour dire des choses intéressantes à son sujet. Il suffit d’en connaitre les propriétés et de savoir qu’un objet de la sorte existe. On peut alors commencer à faire des déductions.

Les preuves soit disant dites d’existences [les ci-dites preuves] n’exhibent en général pas un objet, mais s’assimilent à des recettes pour construire (en un nombre d’étapes fini ou non) un tel objet. Et encore, en général, on abouti non pas à un objet concret, mais à toute une classe dans lequel il suffit de choisir un objet quelconque. Or, et c’est là que le bât blesse, l’axiome du choix dans la théorie de Zermelo-Freankel permet d’affirmer l’existence d’un tel objet mais ne donne aucune méthode pour effectuer ce choix.

Seprinski illustre ceci sur les ensembles non mesurables. Une preuve indirecte montre qu’il est certain qu’il existe de tels ensembles. Par ailleurs, personne n’en a jamais trouvé un, pas tellement parce que c’est difficile mais parce que c’est impossible.

Dans le reste de l’article, Serpinski construit une famille non vide d’ensembles de cardinal supérieur à celui du continu. Il suffit alors d’en choisir un, par l’axiome du choix de Zermelo. Si tout le monde sait qu’il est impossible d’exhiber explicitement l’ensemble choisi, personne ne peux nier qu’il en existe un. D’où son introduction sur les théorèmes d’existence.

Conculsion1: si dites est une typo pour ci-dites.

Conclusion2: Est-ce bien le bon forum ?