"Elle a eu fini" est une construction de temps surcomposé.

Le temps surcomposé est un temps dans lequel le verbe est conjugué avec un double auxiliaire : on ajoute un auxiliaire de plus à un temps déjà composé. Autrement dit, au lieu de laisser l’auxiliaire à un temps simple, on le conjugue au temps composé correspondant.

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On emploie un temps surcomposé lorsque l’on mentionne un fait ayant eu lieu immédiatement avant celui dont au parle au temps composé correspondant.

Dans ce contexte, l’idée est donc d’insister sur le fait que la personne vient juste de finir ce qu’elle était en train de faire, et qu’elle a immédiatement effectué une autre action.