Un verbe s’accorde avec son sujet grammatical (ici l’antécédent de qui qui est personne), pas avec son complément. La forme correcte est donc bien :

Il n’y a personne qui les lave.

comme on dit

Il n’y a personne qui les prend.

et pas

Il n’y a personne qui les prennent.

En revanche, ce sera au pluriel s’il y a plusieurs personnes :

Il y a trois personnes qui les lavent.

y compris à la forme négative :

Il n’y a pas de personnes qui les lavent.

Une façon idiomatique de contourner ce problème est de dire :

Il n’y a personne pour les laver.

Évidemment, si le verbe principal est au participe passé et que l’auxiliaire est une forme du verbe ‘avoir’, alors le participe s’accorde avec un complément d’objet direct si celui-ci le précède et donc on aurait dans ce cas :

Il les a lavés ou Il les a lavées (selon que ‘les’ fait référence à un nom masculin ou féminin).

Et pour reprendre deux de tes exemples :

Personne ne les a lavé(e)s.

Il y a quelques personnes qui les avaient lavé(e)s.