I wouldn’t waste too much time with such a little-used verb:

not to mention my spellchecker underlines it with a wavy red line…

The second quote in the TLFi looks to me like a joke more than anything.

Anyway, here is what I can comment about your attempts.

(1) « Je relationne mon lit avec sommeil. » & « Je relationne mon lit à dormir. »

Neither of these sentence do work. They aren’t grammatical. You might say je relationne avec mon lit en dormant.

(2) « Je connais un producteur de musique qui peut vous aider avec votre musique. Voulez-vous relationner (avec lui) ? » correct ?

Yes but avec lui is mandatory.

(3) « Elle m’a dit qu’elle a le béguin pour toi! Est-ce que tu veux relationner avec elle ? »

Correct. It remind’s me when people having no clue about what it means were singing voulez-vous coucher avec moi, ce soir…

Edit: This verb is possibly a quebecism, or at least more frequent in Canadian French.