Tant et si bien que (yes, “que” is part of the idiom) actually means so much and so well that but it is outdated. This is the kind of idioms you would find in old stories.

[…] le Grand Méchant Loup souffla, souffla, tant et si bien que la maison de paille s’envola. (Conte “Les trois petits cochons”)

You are right, tant et si bien que is not different from tellement que or à tel point que.

Tant et si bien que et à tel point que sont des locutions conjonctives qui introduisent une conséquence. Tant et si bien que est de style légèrement plus soutenu et se rencontre plutôt à l’écrit.

Nous n’avons pas aussitôt quitté le port que le bateau se met à rouler ou à tanguer (je n’ai jamais su faire la différence) tant et si bien que tous les passagers se cognent les uns les autres… (Extrait d’un roman contemporain, Mélamine blues, par François Gravel).

Elle fait le plein des enfants, tant et si bien que ça se bouscule vraiment dans ce rectangle tout à fait sécurisé. (La Dépêche du Midi – 30/07/2016)

À l’oral je dirais plutôt :

Il y avait de la circulation, à tel point que j’ai raté mon train.

ou

Il y avait de la circulation, si bien que j’ai raté mon train.

On peut aussi utiliser si bien que tout seul, auquel cas la virgule avant la subordonnée conjonctive est obligatoire.

Elle a marchandé(,)tant et si bien que l’agent immobilier a diminué le prix de la maison de moitié.

Elle a marchandé, si bien que l’agent immobilier a diminué le prix de la maison de moitié.

Si je ne mettais pas la virgule (ou à l’oral sans faire la pause) j’introduirais une nuance en mettant en relief la qualité du marchandage :

Elle a marchandé si bien / que l’agent immobilier a diminué le prix de la maison de moitié.

Dans cette dernière phrase ce n’est pas le simple fait de marchander mais le fait d’avoir bien marchandé qui a fait céder l’agent immobilier.

Dans tous les cas le que est obligatoire.

De telle manière que est une autre locution conjonctive introduisant une conséquence et qui a le même sens.

Elle a marchandé de telle manière que l’agent immobilier a diminué le prix de la maison de moitié.

Je ne dirais pas :

> Elle a marchandé tellement que l’agent immobilier…

mais je placerais tellement avant le verbe :

Elle a tellement marchandé que l’agent immobilier…

on pourrait d’ailleurs avoir tant à la place de tellement ici.

Elle a tant marchandé que l’agent immobilier…

cette construction rejoint celle ci-dessus avec « si bien marchandé que » mais au lieu d’insister sur la qualité, on insiste sur la quantité. Comme si elle avait eu l’agent immobilier à l’usure.

Pour répondre à la question posée en commentaire :
"Is it possible to also use "assez… pour que…" and "trop… pour que…" in this context?"

trop/assez… peuvent introduisent des propositions complétives de conséquence, mais le verbe de ces subordonnées est au subjonctif :

Elle a assez marchandé pour que l’agent immobilier fasse un rabais sur le prix de la maison.

Ils m’ont déjà raconté trop d’histoires pour que je les croie encore.

Attention : Si le sujet est le même dans les deux propositions alors le verbe de la subordonnée est à l’infinitif :

J’avais assez faim pour manger finir le sandwich.
J’étais trop inquiète pour pouvoir m’endormir.