Dans notre civilisation judéo-chrétienne, on se dit “qu’il faudrait un miracle”.

On a déjà tout essayé pour résoudre ce problème, mais à chaque fois, on se heurte à un échec cuisant. On en est réduit à faire feu de tout bois.

Mais «faire feu de tout bois» me semble moins désespéré que «saisir une botte de paille».

Edit to add: Dans un autre registre (desespéré, moins offensif), assez proche de l’expression japonaise, si on remplace la noyade par la chute d‘un arbre, il y a aussi «se raccrocher aux branches».

Voici quelques propositions qui me semblent convenir :

On a déjà tout essayé pour résoudre ce problème, mais à chaque fois, on se heurte à un échec cuisant.

• On va attaquer sur tous les fronts.
• On va employer tous les moyens.
• On va tirer tous azimuts.

Le proverbe le plus proche me semble être:

A situation désespérée, solution désespérée.

Devant une situation où l’on a tout tenté, on pourrait dire :

Jouer son va-tout

On ne sait plus à quel saint se vouer.