Les contextes usuels d’utilisation :

À part : dans un endroit particulier, dans une autre place – « Occuper une place à part (à l’écart). »

Il y a une notion d’un lieu différent de celui du groupe, de séparation d’un ensemble.

Autre que : ce n’est pas celui-là, c’en est un autre – « Tout autre que lui sera admis, s’il rempli les conditions. »

Il y a une notion de différence, de personnes ou d’objets extérieurs à un groupe ou à une entité.

Complément suite au commentaire de Stéphane

« Les fruits, à part/autres que/hormis les pommes, … »

Dans ce contexte, les trois expressions sont équivalentes.

• « Les fruits, hormis les pommes, … »
• « Les fruits, à part les pommes, … »

… sont interchangeables .

• « Les fruits, mises à part les pommes, … »

L’ajout de l’adjectif mises est souvent utilisé pour insister sur la particularité des pommes en question.

• « Les fruits, autres que les pommes, … »

Le r de autres suivi de la consonne du mot que, qui empêche l’allitération, rend la prononciation correcte difficile.

The meanings of « à part », « autre(s) que » (and « hormis ») are essentially all the same, but unlike « à part » and « hormis », « autre(s) que » is rarely, if ever used to BEGIN a sentence, as this Ngram shows.

I believe that the reason behind the curious results of this Ngram comes from the comparative and modifying nature of the word « autre(s) », and that identifying an exception by « autre(s) que » BEFORE the initial reference to the whole group from which the exception comes sounds awkward and out of balance, whereas « à part » and « hormis » both permit identifying the exception prior to making reference to the whole group in a less awkward and more balanced way.

Therefore, to me all three seem to be interchangeable EXCEPT for when « à part » and « hormis » begin a sentence, in which case it would be best to invert the word order if one wanted to replace either of them with « autre(s) que »:

A part les pommes, j’adore les fruits.

Hormis les pommes, j’adore les fruits.

J’adore les fruits, autres que les pommes.