La contradiction entre ce qualificatif et la prononciation du h n’est pas à rechercher du côté de l’Éducation nationale ou de l’Académie, l’utilisation d’aspirer étant largement antérieure aux dites institutions, et probablement non plus du côté d’une prononciation obsolète hypothétique.

Il faut remonter au latin pour trouver l’origine de ce H aspiré. Quintilien écrivait au premier siècle après J.C. dans l’Institution oratoire, à propos de la lettre H:

Parcissime ea veteres usi etiam in vocalibus, quum aedos ircosque dicebant. Diu deinde servatum, ne consônantibus aspiraretur, ut in Graccis et triumpis.

Dans d’autres éditions du même texte, le temps utilisé est adspirarent.

Ce qui peut se traduire par :

Les anciens l’utilisaient très sobrement, même devant les voyelles ; car ils disaient “aedos et ircos” ensuite, longtemps on ne l’aspira pas avec les consonnes, et l’on disait Graccis et triumpis (au lieu de Gracchis et triumphis).

La prononciation ou non du h n’est donc ni une spécificité française, ni une question récente.

On peut avancer quelques hypothèses qui pourraient expliquer pourquoi aspirer a été choisi.

En latin, le verbe a[d]spirare peut signifier aussi bien aspirer, inspirer que souffler, respirer. Les dictionnaires citent cependant Quintilien comme exemple du sens aspirer. Toutefois, ce qui caractérise le h, ce n’est pas le fait que l’on expire de l’air en le prononçant, puisque c’est le cas habituel de tous les phonèmes, mais plutôt qu’on interrompt brièvement cette expiration quand on prononce le h, ce qu’on appelle le « coup de glotte ». Cet arrêt de l’expiration a peut-être été assimilé à une inspiration.

D’autre part, en grec archaïque, un h en début de mot pouvait être représenté par un h coupé en deux, hêta (Ͱ), qui a évolué dans un signe appelé « esprit rude », une espèce d’apostrophe placée sur la première voyelle du mot (ou deuxième si diphtongue). L’esprit rude était appelé δασὺ πνεῦμα (dasù pneûma, littéralement : « respiration rude ») en grec. Sa traduction latine était spiritus asper (respiration âpre). Peut-être que la proximité phonétique entre [a]spir- (respirer) et asper (âpre, rude) a favorisé l’utilisation du préfixe a[d]- devant spirare sans qu’il soit donc question d’une aspiration mais seulement d’une respiration.

Le TLFi donne d’ailleurs une définition d’aspirer où il n’est nullement question d’inspiration mais de prononciation gutturale, ce qui correspond d’ailleurs plus à asper (âpre, rude) qu’à une respiration :

c) MUS., PHONÉT., Prononcer plus ou moins fortement de la gorge (Ac. 1835-1932); altérer (un son ou une articulation) :
6. Il faut supprimer : toutes les lettres qui ne se prononcent pas; toutes celles qui aspirent inutilement la consonne qu’elles précèdent (…). Les consonnes aspirantes seraient plus difficiles à éliminer. Cependant phtisie est inadmissible et ftisie ne l’est guère moins; il faudrait ici se guider sur l’analogie, sur l’italien, sur l’ancienne langue, et dire tisie. Remplacer ph par f : la réforme est faite pour fantôme, fantaisie; elle s’appliquera à tous les mots analogues avec la même facilité. Gourmont, Esthétique de la lang. fr., 1899, p. 64.