C’est une citation d’Antoine Rivarol, de son vrai nom Antoine Rivaroli (23 juin 1753 – 11 avril 1801) qui est un écrivain français, journaliste royaliste, essayiste et pamphlétaire. La citation complète est :

Quand les peuples cessent d’estimer, ils cessent d’obéir. Règle
générale : les nations que les rois assemblent ou consultent
commencent par des vœux et finissent par des volontés.

Voici comment l’auteur lui-même aborde cette idée.

Voici sa biographie : https://fr.wikipedia.org/wiki/Antoine_de_Rivarol

Je pense que l’auteur veut dire :

Quand les peuples cessent d’apprécier (le roi ?)/de montrer du respect (au roi ?), ils cessent d’obéir (au roi ?)

Le lemme du TLFi supporte ce point de vue

B [Avec une valorisation affective] Accorder de l’estime (cf. ce mot B), apprécier positivement une personne ou une chose qui mérite
l’admiration, le respect intellectuel ou moral.

http://www.cnrtl.fr/definition/estimer

Estimer has mutiple meanings. The one that seems to make more sense in this quote is the meaning of “to have a good opinion of someone, to have a lot of respect for someone, to look up to someone”.

The quote means then:

When peoples stop showing some respect, they stop obeying.

This is then coherent with the conservative, monarchist line of thinking of the author.

Une plus grande partie du passage où se trouve la citation

« Quand les peuples cessent d’estimer, ils cessent d’obéir. Règle générale : les nations que les rois assemblent ou consultent commencent par des vœux et finissent par des volontés. »

La première partie de cette remarque est l’expression d’une réalité qui coule presque de source dans le contexte de la politique ; « estimer » doit être pris dans le sens suivant de « être d’accord, de respecter les principes politiques avancés, d’honorer ceux qui les avancent (pour cette raison même que ces principes sont trouvés respectables) ». De cet état de chose en ce qui concerne le rapport entre le peuple et l’autorité, quelle qu’elle soit, à la notion que le peuple obéit, il n’y a qu’un pas : son estime est quasiment un assentiment, un acquiescement au directives qui émanent de l’autorité selon les principes reconnus ; donc cette estime va de pair avec l’obéissance du peuple ; lorsque elle disparait, c’est pratiquement la contrainte d’obéir qui disparait ; c’est le fondement de l’obéissance qui disparait.

On pourrait traduire de la façon suivante ;

• When a people loses its esteem, it stops obeying.

• When a people stops paying obeisance, it stops obeying.