This is an idiomatic turn in which the preposition can’t be analyzed semantically in too accurate a manner. Its meaning is comparable to that in "faire des pieds et des mains", for instance (roughly, "avec").

(TLFi) 4. La modalité est une manière d’être ou de se comporter.

TLFi

II. − [Superl. de bien]
B. − Substantif
b) [Le mieux est précédé d’une prép.]
− [de] De + adj. poss. + mieux. Avec la meilleure volonté, en déployant toutes ses resources.
► Aider, consoler, se défendre, expliquer, répondre de son mieux.
♦ Je m’efforçai de les réciter de mon mieux, de les parer de tout le prestige du débit (Florian,Fables, 1792, p.6).
♦ L’on s’exterminait, ma foi, comme on pouvait. On faisait de son mieux (Hugo,Légende, t.5, 1877, p.983).

It is reckoned with as an adverbial locution.

découvrir le français adv. Aussi bien que l’on peut, du mieux possible.

Others treat the form in which is added the verb "faire" as a verbal locution.

Wiktionnaire Locution verbale
faire de son mieux fɛʁ də sɔ̃ mjø intransitif (se conjugue → voir la conjugaison de faire)
[sens] Faire le maximum pour parvenir à un résultat.
♦ Sois donc attentif, mon garçon ; sois docile ; fais de ton mieux ce que tu dois faire. Dans la vie, tout est là ! — (Hector Malot, Sans famille, 1878)
♦ Léo faisait de son mieux pour me décontrister. — (Gilles Barbedette, Le métromane, 1985, page 142)
♦ Quand je fus assuré que le silence était bien revenu, je saisis un canif et fis de mon mieux pour tenter de m’entailler la jambe droite.

‘De’ does not mean anything special here. This is an idiomatic construction.

You have a similar construction in the following sentence :

Il fait du mieux qu’il peut.

Maybe this is related to other ways to describe the way/manner to do something :

• Il marche de façon étrange
• Il écrit de la main gauche

C’est une réponse à une question sous-entendue ‘de quelle manière’ ou ‘de quelle façon’.
Si on l’exprime par une question préalable on voit mieux l’articulation:
De quelle manière tu compte le faire ? : Je vais le faire de mon mieux
De quelle main tu écris ? : J’écris de la main gauche
De quelle façon il marche ? : Il marche de façon étrange.
etc.
Le ‘De quel‘ exprime un choix à faire dans une liste ouverte et le ‘de xx‘ exprime ce choix.