A l’impératif, les pronoms des première et deuxième personnes du singulier me/te sont remplacés par leurs variantes toniques moi/toi quand ils sont placés après le verbe:

Laisse-moi

Laisse-toi

Laisse-le

À l’impératif négatif, ces pronoms sont placés avant le verbe, me et te sont donc utilisés:

Ne me laisse pas

Ne te laisse pas

Ne le laisse pas

On rencontre dans la littérature ces pronoms non accentués et placés avant le verbe dans des tournures positives, par exemple :

Va, sois en repos, rentre, et me laisse faire

Molière, L’école des maris.

Va flatter, si tu veux, la douleur de Flavie, Et me laisse éclaircir de l’état de ma vie

Corneille, Théodore.

My try at answering this.
I would say first, that it’s the third person that does not follow the rule. (1st person is “moi” it could not be “laisse-me” simply because moi is the default form and becomes “me” or “m'” only when put before a verb)
However it’s not “Laisse-lui” because the third person is the only one with two forms to mark the difference between accusative/dative or direct and indirect object.
See : « Laisse-moi partir / laisse-moi un message ». Let me go /leave me a message
But : « Laisse-le partir / Laisse-lui un message » (laisse-la partir, laisse-lui un message)
« Je fais quoi du pull de mark ? Laisse-le lui. » Leave it TO him.
So here “Le” is accusative and “lui” is dative.

Why a different set of rules for it? I’d say because of the ambiguity caused in the sentence by the genderisation of objects in french.