The “a” is part of the verb. The verb is in passé composé: il a écrit.

And you’re quite correct, “me” is required there, but it is, in fact, there. Very strictly speaking, the sentence is “Il me a écrit une lettre.” However, French does not like vowels following each other like “me a” and elides the “e” instead, thus giving us “m’a“.

The a here is the conjugation of the “auxiliare avoir“, which is part of the conjugation of the verb “écrire” in the “passé composé” tense.

Le passé composé: est un temps formé de l’auxiliaire avoir ou être au présent suivi du participe passé du verbe conjugué.

Le "a" ici est la conjugaison du verbe "avoir" au présent de
l’indicatif, qui fait partie de la conjugaison du verbe “écrire” au
passé composé, où nous utilisons l’auxiliaire étre ou avoir conjugué au présent de l’indicatif suivi du participe passé du verbe.

Here in the sentence Il m'a écrit une lettre. we have the following :

• a : l’auxiliaire avoir au présent de l’indicatif.
• écrit : le participe passé du verbe écrire.

The pronom personnel me here is abbreviated to m’, because instead of writing “il me a écrit” which we can’t, we write “il m’a écrit”, this rule is called L’élision .