Le verbe est “tutoyer“, par opposition à “vouvoyer“. Note qu’il décrit le fait de dire “tu”, mais par extension, aussi le passage de la forme “tu” à la forme “vous”.
En général, la question posée est “On se tutoie?”

You’re looking for the verb “tutoyer“, which denotes the way of saying “tu” to each other and, by extension, to transition from using “vous” to using “tu”.

Effectivement les mots utilisés sont “tutoyer” et “vouvoyer” mais cela n’indique qu’un état, pas la transition.

Ainsi on peut effectivement dire

On peut se tutoyer
Tu n’es pas obligé de me tutoyer

Plus généralement, le passage de l’un à l’autre implique un passage d’un mode formel, à un mode informel.

On peut ainsi dire “se passer des formalités” :

Entre nous, on peut se passer des formalités.
Oublions les formalités, tu peux me tutoyer.

En Suisse romande on peut dire “faire schmolitz”

Cérémonie consistant à croiser les verres, faire cul sec et se tutoyer ensuite.
Proposer le tutoiement.

D’après Wikipedia:

Cette expression est empruntée à l’argot estudiantin allemand du 18e siècle. Malgré sa consonance germanique, cette expression est semble-t-il inconnue en Suisse alémanique où elle est remplacée par Duzis mache.

En français “standard” (puisque visiblement certaines régions ont une expression), je ne connais pas d’expression permettant d’exprimer le passage du vouvoiement au tutoiement.

Cependant, on pourrait utiliser le verbe “se mettre à”:

Il s’est mis à me tutoyer.

Pourquoi pas « passer au tutoiement » ?