“Leurs Altesses” avec les deux majuscules
Aussi bien en France qu’en Belgique.

Une simple recherche sur Google livre renvoie 74900 retours pour “Leurs altesses” et 500 pour “ses altesses”.

Une autre référence, le site de L’Élysée, une lettre officielle de François Hollande adressée “à Leurs Altesses Royales” le Duc et la Duchesse de Cambridge .

À noter qu’on commence par le “duc” avant la “duchesse”.

Par contre quand on s’adresse à eux directement, c’est “vos”, par exemple:

“Je prie Vos Altesses Royales d’agréer l’expression bla, bla. “