They can be interchangeable but are not so to a great extent.

• C’est une mère, elle ne peut pas rester trop longtemps sans savoir comment va son fils.
  Here you insist on the parental relation and it is not as appropriate to add “de famille”.

• C’est une mère de famille, elle n’a pas tant de temps à elle, il vaut mieux demander à quelqu’un qui pourra se consacrer à cette tâche plus librement.
  In this example you insist rather on the charge of having to take care of one or more children. You might dispense with the complement but it is better not to.

You can say then that when using just “mère” you limit the scope of the discourse to the domain of the parental relation, of affection; when adding the complement that entails that your discourse is rather situated on the level of responsability.

In the example “La voiture avait à son bord une mère de famille et sa fille.” it is the woman’s responsability that is to be considered rather, but you could say just “mère”.

In the following examples you might say either.

• Une mère (de famille) et sa fille were having their meal at one of the front tables.
  Here you can choose the aspect you want, it doesn’t matter so much, but nevertheless the idea will conferred by whichever you choose is still valid.*

Here is another example in which both are possible.

• Elle est devenue mère (de famille) il n’y a pas très longtemps.

Mère is basically mother.

Mère de famille highlights the role of a mother inside a family and as such, is more for describing your situation, like during an interview or a date. You can think of it like you would say in English mother of two (or any number of children).

So they are not always interchangeable, you couldn’t replace mère by mère de famille in such a case (try replacing the English version by mother of two):

Ma mère est géniale = My mother is great

But:

Je m’appelle Sonia, j’ai 38 ans, je suis infirmière et mère de famille / mère de deux enfants = My name is Sonia, I’m 38 years old, I’m a nurse and mother of two

Now in English you can often use “mother” alone for a description, like Do you remember her? She's a mother now!, but in French it would sound strange, at least for me, and I would say Tu te souviens d'elle ? Maintenant elle est mère de famille ! (or more naturally Maintenant elle a des enfants !).

Some translations suggest housewife but it would rather be femme au foyer, that doesn’t even imply you have children. There is mère au foyer too, but you can be a mère de famille and have a job, where a mère au foyer doesn’t have a paid job (it’s a housewife with children… a “housemother”).

Selon https://fr.wiktionary.org/wiki/m%C3%A8re_de_famille (NB : Après la réponse le lemme wiki a été modifié) :

mère de famille mɛʁ də fa.mij féminin (pour un homme on dit : père
de famille)

Femme mariée qui a des enfants (le lemme maintenant ne parle pas de "mariée).

Le lendemain, de bon matin, Mme
Étienne était sur pied. En vraie mère de famille, elle visita les deux
paquets de linge et d’habits que les deux voyageurs portaient sur
l’épaule, et elle mit de bonnes pièces aux pantalons ou aux blouses
qui en avaient besoin. — (G. Bruno, Le Tour de la France par deux
enfants, Chapitre IV, 1904)

Voici la définition de Littré

Mère de famille, femme mariée qui a des enfants. La véritable mère de
famille, loin d’être une femme du monde, n’est guère moins recluse
dans sa maison que la religieuse dans son cloître, Rousseau, Ém. V. Y
a-t-il au monde un spectacle aussi touchant, aussi respectable, que
celui d’une mère de famille entourée de ses enfants, réglant les
travaux de ses domestiques, procurant à son mari une vie heureuse, et
gouvernant sagement la maison ? Rousseau, Lett. à d’Alemb

Comme @LPH le remarque :

Il semble que la définition trouvée ne soit pas une erreur ; voilà ce
que donne le TLFi : Mère de famille. Femme mariée s’occupant de la
maison et des enfants. . Apparemment il existe ou a existé jusqu’à il
n’y a pas très longtemps deux courants d’idée et leur usage.

Voir aussi

https://fr.wiktionary.org/wiki/merdeuf

EDIT

Je pose la question à ma collègue professeure de français, allemand et anglais. Elle m’a dit qu’elle trouve "mère de famille" plutôt un pléonasme de nos jours.

Mère and mère de famille are not in a situation to be interchangeable because they are not really used in the same circumstances.

Mère de famille is an administrative way to define a status, often used in statistics, reports, news, etc. It is rarely used in the conversation. It might be used to disambiguate les mères with les maires (The mayors).

Mère is a neutral way to refer to woman who gave birth to one or more children. It is often used to define the relationship (ma mère, sa mère, la mère de xxx, les mères et leurs filles but never ma/sa/ta/leur mère de famille). Mère is also used in administrative forms along with père.

Maman was missing from your list. It is an affective way to refer to a mother and to call yours or someone’s mother (Maman, sa maman, la maman de xxx, les mamans et les papas…).

LPH suggested a translation for “she’s a mother now!” that avoids mère. There is actually a way to keep the concept by using maman:

C’est une maman maintenant !