“Du haut de [qqchose]” (literally ‘from the top of [smthing]’) usually indicates watching/managing something from a higher position after achieving the something referred to.

A certain disdain usually leaks from these words: the subject is standing above and looks down on the following part of the sentence.

Exemple:
Du haut de mes 25 ans d’expériences, je suis à même de … Intending to say: I am mature enough, so I am obviously capable of doing …

In your example, the words are written by someone else, thus there is no contempt, and the author just praised the longevity of the show.

In this case, you could re-write it: “Après plus de 15 saisons, […]”

Locutions of that sort stem by analogy from one unique fixed locution according to the TLFi, D 3, and that’s “du haut de sa grandeur“.

Loc. adv. (Syntagme défini) Du haut de sa grandeur D’une façon hautaine, avec un air de supériorité. Regarder qqn du haut de sa grandeur.

• Le beau Mistral, fier comme le roi David, lui disait [à la vieille] du haut de sa grandeur : « Laissez, laissez, la mère… les poètes, tout leur est permis… ».

TLFi, D 3 Loc. fig., fam. (Regarder, traiter, juger qqn) du haut de sa grandeur. Avec mépris, avec condescendance ou avec indifférence. Cf. grandeur I A 1.
P. anal. (Regarder, toiser qqn) du haut de sa gloire, du haut de son piédestal, du haut de son trône, du haut de leur supériorité; du haut de sa condescendance, de sa science, etc.

• D’abord je suspectais le major de vouloir me sonder pour me juger du haut de son savoir.

The Larousse en ligne confirms that contempt is indissociable of the use of that expression. This shows that the writer is redefining the meaning, shifting it so that what is meant is simply “du sommet de” or “de la hauteur de”. Moreover, the construction is awkward: the antecedent of the pronoun “ce” is not well defined; a clear formulation would have been as follows;

• Du sommet de quinze saisons, qui par leur nombre constituent déjà un bel accomplissement, Grey’s Anatomy continue de ravir ses fans fidèles et de combler sa chaîne américaine, ABC.