Se déplacer, c’est aller d’un endroit (d’une « place ») à un autre.

« Comment te déplaces-tu ? » : “How do you move about?“. On
s’attend à une réponse du genre : « À pied (en cheval, en
voiture…) ».

L’équivalent de se déplacer serait se mouvoir, (« se mettre en mouvement ») et pas juste mouvoir. La différence entre les deux est essentiellement une question de niveau de langue, se mouvoir est d’un style beaucoup plus relevé, beaucoup moins employé dans la langue courante.

Il y avait tellement de monde qu’on avait du mal à se déplacer/à se
mouvoir.

On peut aussi utiliser se mouvoir pour « bouger sur place ». Si je dis « j’ai du mal à me mouvoir » je peux vouloir dire que, par exemple, j’ai mal au dos et que j’ai du mal à marcher, à me lever, etc., par contre je pourrais très bien me déplacer en fauteuil roulant.

Dans un emploi non pronominal (c’est à dire, juste déplacer ou mouvoir) les deux sont synonymes de « bouger », mouvoir restant d’un niveau de langue beaucoup plus relevé, on l’utilisera plus volontiers en poésie par exemple. Mouvoir reste le plus souvent employé à la voie passive pour transcrire l’effet d’une impulsion sentimentale.

Mû par un amour déçu, il s’est jeté sous un train.

Edit : another example (just to be on the serious side):

Mû par la curiosité, le petit garçon souleva le couvercle de la boîte et …

I was taught that it means, “To get away from it all.” We were taught this in a travel and tourism context though.

déplacer is used to refer to local travel, for example, se déplacer pour aller au travail: to travel to work, to take transportation to get to work; Je me déplace en autobus: I get around [the town] on the bus. Je n’aime pas mon travail parce qu’il y a trop de déplacements. I don’t like my job, there’s too much travel.