Here “bien” is used to reinforce the fact that you have a choice, but that it is an exclusive or, that is having both options is not possible.

Maman: Il y a fromage ou dessert au menu. Que veux-tu Aline?

Aline: Je veux du fromage et un dessert.

Maman: Aline, tu peux prendre ou bien du fromage, ou bien un dessert, mais pas les deux.

Another example:

Papa: Marc, pour ton anniversaire tu as le choix entre un ordinateur portable ou un ordinateur de bureau. Lequel préfères-tu?

Marc: Je veux les deux ordinateurs.

Papa: Non Marc, ou bien c’est un ordinateur portable, ou bien c’est un ordinateur de bureau!

“Ou bien” est utilisé dans le sens de donner un choix exclusif à l’interlocuteur.

In english it is said: “either this or that”.

Une autre formulation de la phrase pourait être (exprime un choix):

Ils peuvent donner à leur enfants soit le nom du père soit celui de la mère.

ou avec le ou (qui sert à exprimer une alternative, une équivalence, une exclusion):

Ils peuvent donner à leur enfants le nom du père ou de la mère.

Mais l’utilisation du “ou bien” renforce le caractère exclusif entre les deux choix.