J’ai une belle brosse à dents neuve, mais je n’ai plus de dentifrice.

Ici on ne peut pas inverser les adjectifs : beau, belle, bon, bonne indique l’intérêt que l’objet a en lui-même, alors que neuve donne une qualité à l’objet dont on parle.

EDIT après commentaire

Les adjectifs qualifiant l’émotion que je ressens pour un objet se placent avant, alors que ceux qui définissent l’objet intrinsèquement s’y raccrochent après pour mieux le définir.

Whether a nominal group contains a inseparable¹ complement introduced by a preposition doesn’t change anything to the placement of adjectives. Some will go before the group, some will go after the group, as described here:

Quand peut-on mettre un adjectif avant ou après un nom ? — When do adjectives go before or after a noun?

Beau always comes before the noun, and neuve, like most adjectives, goes afer.

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^{1. Notice that brosse à dents is a single vocabulary unit, and thus quite different from la robe de Marie which one would qualify as “la belle robe neuve de Marie”.}