a) It is hard to use the infinive devoir here.
b) yes
c) yes
Je croyais au moins devoir savoir son nom won’t be understood.
Here is an idiomatic way to say it:
Puisqu’il avait fait l‘effort de me parler, je me suis dit qu’il me fallait au moins connaître son nom.
or
…, je me suis dit que je devais au moins apprendre son nom.
Your sentence is correct, but heavy: the action is a chain of 3 verbs: croire, devoir, savoir.
You might have rather turned it this way:
Puisqu'il a fait l'effort de me parler, je me suis fait un devoir de connaitre son nom.
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