Je ne trouve pas de mot ou d’expression consacrée, ni dans ma mémoire, ni sur Wikipédia (une bonne ressource pour des traductions de termes techniques quand ils sont suffisamment répandus), ni dans le Dictionnaire des mathématiques de Bouvier, George et Le Lionnais.

Le moins ambigu est encore d’utiliser une notation mathématique : « le corps K ». Parler du « corps de base » me semble raisonnable (mais il vaut mieux préciser « le corps de base K » la première fois). En revanche, je ne comprendrais pas « le corps antérieur » sans une définition, et le choix de mot me semble mauvais parce qu’il n’évoque pas le bon concept (antérieur fait plutôt référence à un ordre temporel). On peut aussi dire « le sous-corps », mais cela devient ambigu rapidement, alors que « corps de base » sera compris sans problème dans une discussion qui parle de K, K(a) et K(a,b).

Quelques formulations dans la question qui sont compréhensibles mais pas du tout idiomatiques :

• « un polynôme qu’y tire ses coefficients » → « un polynôme à coefficients dans K ». La formule n’est pas grammaticalement correcte, il manque un sujet à « tire ». On devine « un polynôme qui y tire ses coefficients », mais ce n’est pas idiomatique : on n’utilise « tirer » qu’à la voix passive (« un polynôme dont les coefficients sont tirés dans ce corps »), mais ce n’est pas idiomatique ici, on dira juste que les coefficients sont dans le corps.
• « qui gît en dehors » → « qui n’appartient pas à K » (ou à la rigueur « qui se situe en dehors »). En tout cas pas gésir, qui en français moderne ne s’utilise guère que pour les morts.